अज्ञात बहुलता की जड़ों का आकलन करने के लिए एक कुशल रणनीति के रूप में श्रोडर की विधि को याद रखना

अमूर्त:

इस पेपर में, हम अपनी सर्वोत्तम जानकारी के अनुसार, उन जड़ों को खोजने के लिए स्मृति के साथ पहली पुनरावृत्तीय योजना का प्रस्ताव करते हैं जिनकी बहुलता साहित्य में मौजूद अज्ञात है। यह श्रोडर के कारण मेमोरी के बिना एक समान प्रक्रिया की दक्षता में सुधार करता है और इसे समान विशेषताओं के साथ उच्च-क्रम के तरीकों को उत्पन्न करने के लिए एक बीज के रूप में माना जा सकता है। एक बार इसके अभिसरण के क्रम का अध्ययन किया जाता है, तो इसकी स्थिरता का विश्लेषण इसके अच्छे गुणों को दिखाते हुए किया जाता है, और कई जड़ों को खोजने के लिए स्मृति के बिना समान योजनाओं के साथ आकर्षण के उनके बेसिन के संदर्भ में संख्यात्मक रूप से तुलना की जाती है।

स्मृति मानव बुद्धि का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है और मानव सीखने, सोचने, निर्माण और जीवन के लिए एक आवश्यकता है। लेकिन कई लोगों को लगता है कि उनकी याददाश्त अपर्याप्त है और वे अक्सर महत्वपूर्ण चीजें भूल जाते हैं। स्मृति की गुणवत्ता का स्मृति की पुनरावृत्ति से गहरा संबंध है।

स्मृति की तथाकथित पुनरावृत्ति एक निश्चित ज्ञान बिंदु या कौशल को बार-बार सीखने की प्रक्रिया में स्मृति के निरंतर सुदृढ़ीकरण और समेकन को संदर्भित करती है, और अंततः दीर्घकालिक स्मृति में परिवर्तित हो जाती है। यह प्रक्रिया न केवल यादों को मजबूत करने में मदद करती है बल्कि उनकी मात्रा और गुणवत्ता में भी सुधार करती है।

तो, मेमोरी को अच्छी तरह से कैसे पुनरावृत्त करें? सबसे पहले सीखने की सामग्री को पूरी तरह से समझना आवश्यक है। केवल गहरी समझ से ही ज्ञान को वास्तव में मन में अंकित किया जा सकता है और भूलने से बचाया जा सकता है। दूसरा, समीक्षा करते रहें. सीखे गए ज्ञान की बार-बार समीक्षा करने से मस्तिष्क को ज्ञान की पहचान, तर्क और समझ की धारणा को गहरा करने में मदद मिलती है, जिससे दीर्घकालिक स्मृति बढ़ती है। अंत में, स्मृति को पुनरावृत्त करने में सहायता के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, आप माइंड मैप बनाकर, रीटेलिंग आदि करके अपनी याददाश्त को और अधिक गहन बना सकते हैं।

संक्षेप में, पुनरावृत्तीय स्मृति एक जटिल और महत्वपूर्ण प्रक्रिया है जिसके लिए निरंतर प्रयास और दृढ़ता की आवश्यकता होती है। केवल पुनरावृत्तीय स्मृति को जीवन के एक तरीके के रूप में मानकर और इसे दैनिक अध्ययन, कार्य और जीवन के सभी पहलुओं में एकीकृत करके ही हम अपनी स्मृति में लगातार सुधार कर सकते हैं, खुद को जटिल सीखने और कार्य चुनौतियों से बेहतर ढंग से निपटने में सक्षम बना सकते हैं, और एक नई व्यक्तिगत शैली दिखा सकते हैं। मांस का पेस्ट एक पारंपरिक चीनी औषधीय सामग्री है जिसके कई अनूठे प्रभाव हैं, जिनमें से एक है याददाश्त में सुधार करना। कीमा बनाया हुआ मांस की प्रभावकारिता इसमें मौजूद विभिन्न प्रकार के सक्रिय तत्वों से आती है, जिनमें कार्बोक्जिलिक एसिड, पॉलीसेकेराइड, फ्लेवोनोइड आदि शामिल हैं। ये तत्व विभिन्न चैनलों के माध्यम से मस्तिष्क स्वास्थ्य को बढ़ावा दे सकते हैं।

याददाश्त बढ़ाने के 10 तरीके जानने के लिए क्लिक करें

कीवर्ड:

अरेखीय समीकरण; स्मृति के साथ पुनरावृत्तीय विधियाँ; एकाधिक जड़ें; व्युत्पन्न-मुक्त; क्षमता; स्थिरता.

1 परिचय

साहित्य में मौजूद हैं (उदाहरण के लिए, संदर्भ [1-8] देखें) स्मृति के बिना कई पुनरावृत्तीय विधियां, जिसमें व्युत्पन्न शामिल हैं या नहीं, एक गैर-रेखीय समीकरण एफ (एक्स)=0 की एकाधिक जड़ों का अनुमान लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, लेकिन उनमें से अधिकांश को इन जड़ों की बहुलता m के ज्ञान की आवश्यकता है।

यह सर्वविदित है कि श्रोडर विधि [9]:

वास्तविक पैरामीटर होने के कारण, प्रति चरण 4 फ़ंक्शन मूल्यांकन की आवश्यकता होती है और यह अब व्युत्पन्न-मुक्त नहीं है। जी पर यह ट्रब-स्टीफेंसन विधि बहुत महंगी है और इस पर आगे विचार नहीं किया गया है।

श्रोडर योजना का मुख्य लाभ कई जड़ों के लिए संशोधित न्यूटन की विधि के विपरीत, गैर-रेखीय फ़ंक्शन की बहुलता के ज्ञान की स्वतंत्रता है,

जहाँ m की बहुलता है, जिसे इस मामले में अवश्य जाना जाना चाहिए। यह योजना भी श्रोडर के कारण ही थी (संदर्भ [9] भी देखें), और हम इसे SM2 द्वारा निरूपित करते हैं। यह योजना दूसरे क्रम की अभिसरण है और, इसलिए, कुंग-ट्रब अनुमान के अर्थ में इष्टतम है, (क्योंकि यह प्रति पुनरावृत्ति दो नए कार्यात्मक मूल्यांकन का उपयोग करती है; संदर्भ देखें [1 0])। हालाँकि, इसे बहुलता के ज्ञान की आवश्यकता है, जबकि SM1 इसका उपयोग नहीं करता है; फिर भी, SM1 योजना का मुख्य दोष इसकी कम दक्षता है, क्योंकि इसे प्रति पुनरावृत्ति तीन गैर-रेखीय कार्यों (f(x), f 0 (x) और f 00(x)) का मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है।

इस पांडुलिपि में हमारा उद्देश्य दोहरा है: एक तरफ से, हम एसएम1 योजना की दक्षता को बढ़ाना चाहते हैं, एम को जाने बिना बहुलता एम की कई जड़ों को खोजने की क्षमता रखते हुए, और दूसरी तरफ, एक ही एल्गोरिथ्म में संयोजित करना चाहते हैं। एक से अधिक पिछले पुनरावृत्त का उपयोग करके एकाधिक जड़ें ढूंढने की क्षमता। इसलिए, हम अज्ञात बहुलता की एकाधिक जड़ों का अनुमान लगाने के लिए स्मृति के साथ एक पुनरावृत्त योजना का प्रस्ताव करते हैं। जहां तक ​​हम जानते हैं, साहित्य में इन गुणों को संतुष्ट करने वाली कोई पुनरावृत्तीय प्रक्रिया नहीं है।

प्रस्तावित योजना के अभिसरण के विश्लेषण में, कुछ पहलुओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए, क्योंकि यह स्मृति के साथ एक पुनरावृत्त विधि है इसलिए पिछले कई पुनरावृत्तियों में त्रुटि पर विचार किया जाना चाहिए और रूट एम की बहुलता भी एक प्रमुख तत्व होना चाहिए प्रदर्शन का, हालाँकि इसका विशिष्ट मूल्य ज्ञात नहीं है। इस तथ्य के संबंध में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि q के लिए f (q) ( ) {{{5 }} , 2, . . . , एम − 1 और एफ (एम) ( ) 6= 0. तो, पुनरावृत्त अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले एफ और एफ 0 के आस-पास टेलर विस्तार को इस जानकारी को ध्यान में रखना चाहिए।

दूसरी ओर, चूंकि हमारी प्रस्तावित योजना एक पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है जो अगले की गणना के लिए तीन पिछले पुनरावृत्तों का उपयोग करती है, त्रुटि समीकरण को उनकी संबंधित त्रुटियों के संदर्भ में व्यक्त करना और, इससे, इसके अभिसरण के क्रम को निकालना आवश्यक है। इसे ओर्टेगा और राइनबोल्ड्ट [11] द्वारा शास्त्रीय परिणाम का उपयोग करके बनाया गया है, जो नीचे प्रस्तुत किया गया है।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि ψ स्मृति के साथ एक पुनरावृत्तीय विधि है जो मूल के सन्निकटन का अनुक्रम {xk} उत्पन्न करती है, और इस अनुक्रम को परिवर्तित होने देती है। यदि कोई शून्येतर स्थिरांक η और धनात्मक संख्याएँ ti, i=0, 1, मौजूद है। . . , मी, ऐसी कि असमानता

इस पांडुलिपि में, धारा 2 कई जड़ों (इसकी बहुलता के ज्ञान के बिना) को खोजने के लिए स्मृति के साथ प्रस्तावित व्युत्पन्न-मुक्त पुनरावृत्त विधि के डिजाइन और अभिसरण विश्लेषण के लिए समर्पित है। धारा 3 में, सरल और एकाधिक जड़ों दोनों के लिए प्रारंभिक अनुमानों पर इसकी निर्भरता को कम करने के लिए इसकी स्थिरता का विश्लेषण किया गया है। धारा 4 में, मौजूदा श्रोडर विधियों की तुलना में, विश्लेषण किए जा रहे कई परीक्षण कार्यों के साथ-साथ आकर्षण के उनके संबंधित बेसिनों पर विधि के संख्यात्मक प्रदर्शन की जांच की जाती है।

2. डिज़ाइन और अभिसरण विश्लेषण

हमारा प्रारंभिक बिंदु ट्रब [12] के कारण मेमोरी के साथ व्युत्पन्न-मुक्त योजना है,

इस योजना का मुख्य लाभ SM1 की तुलना में बेहतर दक्षता के साथ, बहुलता के ज्ञान के बिना एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन की सरल, साथ ही कई जड़ों को खोजने की क्षमता है। निश्चित रूप से, ओस्ट्रोव्स्की के दक्षता सूचकांक [13] का उपयोग करके, आईएसएम 1=2 1 3 ≈ 1.25992 आईजीटीएम {{5 }} से कम है। विधि के अभिसरण का क्रम, और प्रति पुनरावृत्ति नए कार्यात्मक मूल्यांकन की मात्रा।

अगले भाग में, सरल और एकाधिक जड़ों पर इसके गुणात्मक प्रदर्शन को दिखाने के लिए, इस योजना पर एक गतिशील विश्लेषण किया गया है। चूँकि यह स्मृति के साथ एक पुनरावृत्तीय विधि है, बहुआयामी वास्तविक गतिशीलता का उपयोग किया जाना चाहिए।

3. मल्टीपल रूट के लिए मेमोरी के साथ प्रस्तावित पुनरावृत्तीय विधियों का गुणात्मक अध्ययन

आइए हम टिप्पणी करें कि हमारी पद्धति निम्नलिखित को उत्पन्न करने के लिए तीन पिछले पुनरावृत्तियों का उपयोग करती है; इसलिए, इसे सामान्य रूप से व्यक्त किया जा सकता है

जहां x0, x−1, और x−2 प्रारंभिक अनुमान हैं। संदर्भ [14] में परिभाषित प्रक्रिया का उपयोग करके, इस विधि को एक असतत वास्तविक बहुआयामी गतिशील प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और इसके गुणात्मक व्यवहार का विश्लेषण किया जा सकता है

गतिशील प्रणाली का गुणात्मक प्रदर्शन स्थिरता के संदर्भ में, उनके निश्चित बिंदुओं के लक्षण वर्णन में एक महत्वपूर्ण तत्व है। 1 SF Υ के निश्चित बिंदुओं की गणना करने के लिए, 1 SF Υ से संबंधित एक सहायक वेक्टर फ़ंक्शन M: R3 −→ R3 को परिभाषित किया जा सकता है:

इसके अलावा, यदि जैकोबियन मैट्रिक्स M का एक eigenvalue λi मौजूद है तो एक निश्चित बिंदु x * पर मूल्यांकन किया गया है जो संतोषजनक है |λi|< 1 और दूसरा λj इस प्रकार कि |λj|> 1, तो, x * को सैडल स्थिर बिंदु कहा जाता है। एक-आयामी गतिशीलता में अवधारणा के विस्तार के रूप में, यदि M0 (x * ) के eigenvalues ​​​​संतुष्ट होते हैं |λj|j के सभी मानों के लिए=0=1, 2, . . . , m, तो, निश्चित बिंदु x * न केवल आकर्षित कर रहा है बल्कि सुपरआकर्षक भी है। इसलिए, विधि में द्विघात अभिसरण है, कम से कम गैर-रेखीय कार्यों के वर्ग पर जो तर्कसंगत फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं (संदर्भ देखें [12])।

x * को M का एक आकर्षक निश्चित बिंदु मानकर, इसके आकर्षण के बेसिन A(x * ) को किसी भी क्रम की पूर्वछवियों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है

एकाधिक जड़ों वाले अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए डिज़ाइन की गई विभिन्न पुनरावृत्त योजनाओं के गुणात्मक प्रदर्शन का अध्ययन विभिन्न लेखकों द्वारा किया गया है (उदाहरण के लिए, संदर्भ [17-19] देखें)। इसे अलग-अलग जटिल गतिशीलता का उपयोग करके बनाया गया है, क्योंकि ये सभी योजनाएं स्मृति के बिना हैं। इन अध्ययनों में, यह प्राप्त किया गया है कि, जब एकाधिक जड़ों को खोजने के लिए डिज़ाइन की गई एक पुनरावृत्त विधि (स्मृति के बिना) सरल और एकाधिक जड़ों दोनों के साथ एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन पर कार्य करती है, तो यह काफी सामान्य है कि सरल जड़ों के आकर्षण के बेसिन संकीर्ण होते हैं अनेक जड़ों वाले। दरअसल, वे सरल जड़ें तर्कसंगत फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं को परिभाषित कर सकती हैं जो प्रतिकारक हैं। इसलिए, पुनरावृत्त विधि केवल एकाधिक जड़ें ढूंढने में सक्षम होनी चाहिए।

निम्नलिखित गुणात्मक विश्लेषण p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m 1 से अधिक या उसके बराबर पर किया जाता है ताकि योजना की क्षमता सरल और सरल दोनों को खोज सके एकाधिक जड़ों (बहुलता एम के साथ) का परीक्षण किया जाता है।

विश्लेषणात्मक परिणामों की कल्पना करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण प्रणाली का गतिशील विमान है, जो आकर्षण के विभिन्न बेसिनों के एक सेट से बना है। यहां, प्रस्तावित विधि जीटीएम का गतिशील विमान शुरुआती ग्रिड में डब्ल्यू के एक निश्चित मूल्य के लिए 800 × 800 शुरुआती बिंदुओं (जेड, एक्स) के जाल की कक्षा की गणना करके बनाया गया है। चूंकि पुनरावृत्त योजनाओं को तीन प्रारंभिक अनुमानों के साथ शुरू करने की आवश्यकता होती है, हम गतिशील विमानों का एक जाल तैयार करते हैं, उनमें से प्रत्येक अंतराल [−1.75, 1.75] में w के एक निश्चित मान के साथ होता है। इन चरण चित्रों में, जाल के प्रत्येक बिंदु को अलग-अलग रंगों (इस मामले में नारंगी और हरा) में चित्रित किया गया है, यह उस आकर्षितकर्ता पर निर्भर करता है जिस पर वे एकत्रित होते हैं (एक सफेद तारे के रूप में चिह्नित), 10−3 की सहनशीलता के साथ। इसके अलावा, यदि कक्षा अधिकतम 500 पुनरावृत्तियों में किसी आकर्षक निश्चित बिंदु तक नहीं पहुंची है तो वे काले रंग में दिखाई देते हैं। जैसे ही w का निश्चित मान [−1.75, 1.75] से संबंधित मानों के वेक्टर में बदला जाता है, यह प्रत्येक बहुलता के लिए आंकड़ों की एक संरचना उत्पन्न करता है, जो एक प्रकार के समोच्च कथानक को जन्म देता है।

चित्र 1 में, हम p(x) पर gTM योजना का प्रदर्शन दिखाते हैं, यानी सरल जड़ों के लिए तर्कसंगत ऑपरेटर TM का। [−2,2] में अलग-अलग तीन प्रथम पुनरावृत्तियों के साथ अलग-अलग भूखंडों के व्यवहार का अवलोकन करते हुए, स्थिर व्यवहार्यता देखी गई है। जड़ों के आकर्षण के बेसिन ही एकमात्र हैं; वे व्यापक हैं, और एकमात्र अलग प्रदर्शन (बेसिनों के बीच सीमा की सादगी के संदर्भ में दूसरों की तुलना में बेहतर) मामला w=0 है, जहां तर्कसंगत फ़ंक्शन को सरल बनाया गया है। सभी मामलों में, यह देखा गया है कि विधि जीटीएम का एकमात्र संभावित व्यवहार जड़ों का अभिसरण है।

दूसरी ओर, चित्र 2 में, हम बहुत समान प्रदर्शन दिखाते हैं जब एक जड़ दोहरी होती है और दूसरी सरल होती है। आकर्षण के बेसिन समान रूप से व्यापक हैं, और जब अन्य बहुलताओं का पता लगाया गया है तो यह व्यवहार बहुत समान है। इसके अलावा, इस मामले में यह देखा जा सकता है कि केवल जड़ों में अभिसरण होता है, क्योंकि आकर्षण के बेसिन की सीमा की उच्च जटिलता के कारण गहरे क्षेत्रों में केवल धीमा अभिसरण होता है।

4. संख्यात्मक प्रदर्शन और गतिशील परीक्षण

इस अनुभाग में, हम तीन विधियों की तुलना करते हैं, अर्थात् SM2 (बहुलता के ज्ञान की आवश्यकता), SM1, और gTM (ट्रब की विधि से प्राप्त)। अंतिम दो विधियों के लिए बहुलता के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, लेकिन उन्हें प्रति पुनरावृत्ति चरण में अतिरिक्त कार्यात्मक मूल्यांकन की आवश्यकता होती है (एसएम1 के मामले में तीन, जीटीएम मामले में दो)।

विधियों की तुलना गुणात्मक रूप से आकर्षण आंकड़ों के आधार पर और मात्रात्मक रूप से कई उपायों के माध्यम से की जाती है। ये उपाय मूल में केन्द्रित 6 गुणा 6 वर्ग में बिंदुओं पर विधि को चलाने के लिए सीपीयू रन-टाइम हैं। हमने वर्ग को समान रूप से वितरित क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं से विभाजित किया और प्रतिच्छेदन के सभी बिंदुओं को पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के लिए प्रारंभिक बिंदुओं के रूप में लिया।

टीएम के लिए, मेमोरी वाली एक विधि, हमें दो अतिरिक्त शुरुआती बिंदु x−1=x0 + d और x−2=x0 + 2d लेने पड़े, जहां d है पंक्तियों का अंतर. कोड द्वारा एकत्र किया गया एक अन्य मानदंड प्रति बिंदु पुनरावृत्तियों की औसत संख्या (एआईपीपी) है, लेकिन, चूंकि विधियों को प्रति चरण अलग-अलग संख्या में कार्यात्मक मूल्यांकन की आवश्यकता होती है, इसलिए हमने प्रति बिंदु कार्यों की औसत संख्या (एएफपीपी) ली। तीसरा मानदंड अपसारी बिंदुओं (डीपी) की संख्या है, जो उन बिंदुओं की संख्या है जिनके लिए विधि 10−7 की सहनशीलता का उपयोग करके 40 पुनरावृत्तियों में अभिसरण नहीं करती है।

चित्र 3 के आधार पर, यह स्पष्ट है कि SM1 और SM2 में समान बेसिन हैं, और gTM में दोनों बेसिनों के बीच की सीमा पर अधिक लोब हैं। चित्र 4 से, हम देखते हैं कि gTM SM1 से बेहतर है। अगले 3 आंकड़ों में, जीटीएम सबसे अच्छा है, जिसमें आकर्षण के व्यापक बेसिन और जड़ों से कोई अभिसरण नहीं होने वाले संकीर्ण काले क्षेत्र हैं। यह प्रदर्शन गैर-बहुपद फ़ंक्शन f5 के लिए भी आयोजित किया जाता है। इसके अलावा, चित्र 8 में, यह देखा जा सकता है कि विधि SM2 के आकर्षण के बेसिन हमारी gTM विधि से अधिक व्यापक हैं।

अब हम तालिका 1-3 में डेटा का संदर्भ लेते हैं। सेकंड में सीपीयू रन-टाइम तालिका 2 में दिया गया है। एसएम2 दूसरों की तुलना में लगातार तेज है। यदि बहुलता ज्ञात नहीं है, तो पहले उदाहरण को छोड़कर, gTM SM1 से तेज़ है। औसतन, gTM SM1 से तेज़ है।

प्रति बिंदु फ़ंक्शन मूल्यांकन की औसत संख्या (तालिका 2 देखें) सभी उदाहरणों के लिए एसएम1 के लिए सबसे अधिक है। ध्यान दें कि अंतिम उदाहरण सभी तरीकों के लिए सबसे कठिन है। उदाहरण 1, 3, और 4 के लिए जीटीएम के लिए भिन्न बिंदुओं की संख्या सबसे कम है। पहले 6 उदाहरणों के लिए एसएम1 में सबसे अधिक भिन्न बिंदु हैं, लेकिन, अंतिम उदाहरण में, जीटीएम ने खराब प्रदर्शन किया और कुल मिलाकर तीसरा स्थान बन गया। औसतन, 3 श्रेणियों के लिए SM2 विधि सबसे अच्छी थी, उसके बाद 2 श्रेणियों के लिए gTM थी।

प्र. 5। निष्कर्ष

सरल और एकाधिक जड़ों (उनकी बहुलता को जानने की आवश्यकता के बिना) को खोजने की क्षमता वाली स्मृति के साथ एक नई पुनरावृत्त योजना का निर्माण किया गया है। जहाँ तक हम जानते हैं, यह साहित्य में इन गुणों वाली पहली विधि है। प्रति पुनरावृत्ति दो नए कार्यात्मक मूल्यांकन के साथ इसके अभिसरण का क्रम लगभग 1.84 सिद्ध हुआ है; इससे मेमोरी SM1 के बिना श्रोडर योजना की दक्षता में सुधार करने की योजना प्राप्त होती है, जिसमें समान गुण होते हैं। बहुआयामी वास्तविक असतत गतिशीलता और सरल और एकाधिक जड़ों वाले निम्न-डिग्री बहुपदों का उपयोग करके, प्रस्तावित योजना की स्थिरता का विश्लेषण किया गया है, जिसमें दोनों प्रकार की जड़ों के अभिसरण के व्यापक क्षेत्र दिखाए गए हैं।

पिछले खंड में, कई उदाहरणों पर चलने वाली श्रोडर और जीटीएम विधियों ने हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति दी है कि, यदि बहुलता पहले से ज्ञात है, तो, एसएम 1 और जीटीएम प्रतिस्पर्धा नहीं कर सकते हैं, भले ही जीटीएम एसएम 1 से बेहतर है। हालाँकि, जब बहुलता ज्ञात नहीं होती है, तो प्रस्तावित विधि जीटीएम निष्पादन समय, कम्प्यूटेशनल लागत और आकर्षण के बेसिन की चौड़ाई के संदर्भ में एसएम 1 विधियों की तुलना में बहुत अच्छा प्रदर्शन और बेहतर दक्षता दिखाती है।

लेखक का योगदान:

संकल्पना, एसी और जेआरटी; कार्यप्रणाली, बीएन; सॉफ्टवेयर, एसी और बीएन; सत्यापन, बीएन; औपचारिक विश्लेषण, जेआरटी; जांच, एसी; लेखन-मूल मसौदा तैयार करना, एसी और बीएन; लेखन-समीक्षा और संपादन, जेआरटी; पर्यवेक्षण, बीएन और जेआरटी सभी लेखकों ने पांडुलिपि के प्रकाशित संस्करण को पढ़ लिया है और उससे सहमत हैं।

फंडिंग:

यह शोध आंशिक रूप से PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE) द्वारा समर्थित था।

सूचित सहमति वक्तव्य:

लागू नहीं।

आभार:

लेखक गुमनाम समीक्षकों को उनके सुझावों और टिप्पणियों के लिए धन्यवाद देना चाहते हैं जिन्होंने इस पांडुलिपि के अंतिम संस्करण में सुधार किया है।

हितों का टकराव:

ऑथर ने किसी हित संघर्ष की घोषणा नहीं की है।

संदर्भ

1. पेटकोविच, एम.; नेता, बी.; पेटकोविच, एल.; डिज़ुनीक, जे. अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए बहुबिंदु विधियाँ; अकादमिक प्रेस: ​​ऑक्सफोर्ड, यूके, 2013।

2. अमात, एस.; बुस्क्वियर, एस. नॉनलाइनियर समीकरणों के लिए पुनरावृत्तीय तरीकों में प्रगति; SEMA SIMAI स्प्रिंगर सीरीज 10; स्प्रिंगर: चाम, स्विट्जरलैंड, 2016।

3. बहल, आर.; कोर्डेरो, ए.; टोरेग्रोसा, जेआर एकाधिक जड़ों के लिए एक नई उच्च-क्रम इष्टतम व्युत्पन्न-मुक्त योजना। जे. कंप्यूट. आवेदन. गणित। 2021, 113773, प्रेस में। [क्रॉसरेफ]

4. कुमार, एस.; कुमार, डी.; शर्मा, जेआर; सेसरानो, सी.; अग्रवाल, पी.; चू, वाईएम एकाधिक जड़ों के लिए एक इष्टतम चौथे क्रम का व्युत्पन्न-मुक्त संख्यात्मक एल्गोरिदम। समरूपता 2020, 12, 1038। [क्रॉसरेफ]

5. अकरम, एस.; अकरम, एफ.; जुंजुआ, एम.; अरशद, एम.; अफ़ज़ल, टी. कई जड़ों और इसकी गतिशीलता के लिए इष्टतम आठवें क्रम के पुनरावृत्त कार्य का एक परिवार। जे. गणित. 2021, 77, 1249-1272।

6. शर्मा, जेआर; अरोरा, एच. अरेखीय समीकरणों के एकाधिक मूल खोजने के लिए पांचवें क्रम की पुनरावृत्त विधियों का एक परिवार। अंक. गुदा. आवेदन. 2021, 14, 186-199। [क्रॉसरेफ]

7. कुमार, एस.; कुमार, डी.; शर्मा, जेआर; आर्गिरोस, आईके कई जड़ों के लिए चौथे क्रम की व्युत्पन्न-मुक्त विधि का एक कुशल वर्ग। इंट. जे. अरेखीय विज्ञान. अंक. सिमुल. 2021. [क्रॉसरेफ]

8. जफर, एफ.; कोर्डेरो, ए.; टोरेग्रोसा, जेआर गैर-रेखीय समीकरणों की एकाधिक जड़ों के लिए इष्टतम चौथे क्रम की विधि का एक परिवार। गणित। तरीके Appl. विज्ञान. 2020, 43, 7869-7884। [क्रॉसरेफ]

9. श्रोडर, ई. उबेर अनेंड्लिच विएल एल्गोरिथमेन ज़ूर औफ्लोसुंग डेर ग्लीचुंगेन। गणित। ऐन. 1870, 2, 317-365। [क्रॉसरेफ]

10. कुंग, एचटी; ट्रब, जेएफ एक-बिंदु और बहु-बिंदु पुनरावृत्ति का इष्टतम क्रम। जे. एसोसिएट. गणना. मच. 1974, 21, 643-651। [क्रॉसरेफ]

11. ओर्टेगा, जेएम; रीनबोल्ड्ट, WC अनेक चरों में अरेखीय समीकरणों का पुनरावृत्तीय समाधान; अकादमिक प्रेस: ​​कैम्ब्रिज, एमए, यूएसए, 1970।

12. ट्रब, जेएफ समीकरणों के समाधान के लिए पुनरावृत्तीय तरीके; प्रेंटिस-हॉल: होबोकेन, एनजे, यूएसए, 1964।

13. ओस्ट्रोव्स्की, एएम समीकरणों के समाधान और समीकरणों की प्रणाली; अकादमिक प्रेस: ​​न्यूयॉर्क, एनवाई, यूएसए; लंदन, यूके, 1966।

14. कैम्पोस, बी.; कोर्डेरो, ए.; टोरेग्रोसा, जेआर; विन्डेल, पी. स्मृति के साथ पुनरावृत्त तरीकों के लिए एक बहुआयामी गतिशील दृष्टिकोण। आवेदन. गणित। गणना. 2015, 271, 701-715। [क्रॉसरेफ]

15. देवेनी, आरएल एन इंट्रोडक्शन टू कैओटिक डायनामिकल सिस्टम्स; गणित और इंजीनियरिंग में प्रगति; सीआरसी प्रेस: ​​बोका रैटन, एफएल, यूएसए, 2003।

For more information:1950477648nn@gmail.com