परिवर्तनशील संवेदनशीलता, झुंड प्रतिरक्षा सीमा और संक्रामक रोगों के मॉडलिंग पर एक नोट

अमूर्त

संक्रामक रोगों के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करके भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल हो गया है। हालांकि यह प्रदर्शित किया गया है कि संवेदनशीलता में भिन्नता का प्रमुख मात्राओं जैसे घटना शिखर, झुंड प्रतिरक्षा सीमा और महामारी के अंतिम आकार पर प्रभाव पड़ता है, इस जटिल घटना को मापना या मात्रा निर्धारित करना लगभग असंभव है, और यह अस्पष्ट बना हुआ है मॉडलिंग और भविष्यवाणी के लिए इसे कैसे शामिल किया जाए। इस कार्य में, हम दिखाते हैं कि, मॉडलिंग परिप्रेक्ष्य से, व्यक्तिगत स्तर पर संवेदनशीलता में परिवर्तनशीलता "कृत्रिम" स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा वाली आबादी के एक अंश θ के बराबर है। हम झुंड-प्रतिरक्षा सीमा और महामारी के अंतिम आकार के लिए नए सूत्र भी प्राप्त करते हैं और दिखाते हैं कि चर संवेदनशीलता की उपस्थिति में, ये मूल्य शास्त्रीय सूत्रों द्वारा अनुमानित की तुलना में काफी कम हैं। SARS-CoV -2 के विशेष मामले में, दोनों टीकों और पिछले संक्रमणों से प्रतिरक्षा में कमी के कारण अब तक निस्संदेह परिवर्तनशील संवेदनशीलता है, और हमारे निष्कर्षों का उपयोग मॉडल को बहुत सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। यदि इस तरह की विविधताएँ पहली लहर से पहले भी मौजूद थीं, जैसा कि कई अध्ययनों से पता चला है, तो ये निष्कर्ष यह समझाने में मदद कर सकते हैं कि SARS-CoV की प्रारंभिक तरंगों का परिमाण किसी की तुलना में अपेक्षाकृत कम क्यों था। मानक मॉडलों के आधार पर अपेक्षा की है।

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1 परिचय

चूंकि केर्मैक और मैककेंड्रिक [1-3] के मौलिक कार्यों के बाद से संक्रामक रोगों के प्रसार को मॉडल करने के लिए कंपार्टमेंटल गणितीय मॉडल (जैसे एसआईआर, एसईआईआर, आदि) का उपयोग किया जाता है। अन्य बातों के अलावा, इन दस्तावेज़ों ने अब तक प्रसिद्ध आर 0- मूल्य पेश किया और दिखाया कि मानव अंतर्ज्ञान के विपरीत, संक्रामक रोग कभी भी पूरी आबादी को संक्रमित नहीं करेगा, चाहे वह कितना भी संक्रामक क्यों न हो। इसके बजाय, जब ठीक हुए लोगों का अंश तथाकथित "हर्ड-इम्यूनिटी थ्रेशोल्ड" तक पहुंच जाएगा, तो घटना घटनी शुरू हो जाएगी, जिसके लिए उन्होंने प्रसिद्ध फॉर्मूला निकाला, हालांकि, SARS-CoV-2 महामारी से पहले, कोई नहीं था एक नए वायरस (मनुष्यों को प्रभावित करने वाले) से विश्वसनीय डेटा जिस पर इस भविष्यवाणी का परीक्षण किया जा सकता है। दुर्भाग्य से, यह काफी हद तक मामला बना हुआ है, उदाहरण के लिए लॉकडाउन और स्वैच्छिक अलगाव (जिसकी भविष्यवाणी मॉडल नहीं कर सकते) का प्रसार पर बड़ा प्रभाव पड़ा। इसके बावजूद, स्वीडन जैसी जगहों से डेटा, जिसने सामुदायिक प्रसारण को रोकने के लिए अपेक्षाकृत कम काम किया, यह दर्शाता है कि गणितीय मॉडल में एक बड़े प्रकोप के दौरान लहर की भयावहता को कम आंकने की प्रवृत्ति होती है [4]। कई कारकों को मॉडल वक्रों पर अवमंदन प्रभाव डालने के लिए जाना जाता है। ऐसा ही एक उदाहरण परिवर्तनशील संवेदनशीलता है, उदाहरण देखें Ch। [5] में 1 और 3, और लेख [6-9]। परिवर्तनशील संवेदनशीलता से, हम यहां समय के साथ व्यक्तिगत भिन्नताओं के विपरीत, वायरस के एक निश्चित जोखिम को देखते हुए, संक्रमित होने की संभावना में व्यक्तियों के बीच अंतर (समय-अपरिवर्तनीय) का उल्लेख करते हैं। इसी तरह के परिणाम अन्य विषमताओं, जैसे उम्र और गतिविधि [10] के लिए भी संख्यात्मक रूप से स्थापित किए गए हैं। दिलचस्प बात यह है कि किसी बड़े प्रकोप के दौरान परिवर्तनीय संक्रामकता (सुपर-स्प्रेडर्स) का प्रसार पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है [11]। किसी भी मामले में, ऐसे निष्कर्ष अनुमानी तर्कों का उपयोग करके या केवल प्रासंगिक मॉडलों का परीक्षण करके निकाले जाते हैं, और इन घटनाओं के पीछे के तंत्र को कम समझा जाता है। विशेष रूप से, चूंकि संवेदनशीलता में परिवर्तनशीलता को मापना लगभग असंभव है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि इसे मॉडल में कुशलतापूर्वक कैसे शामिल किया जाए, इसलिए भविष्य की COVID तरंगों या अगली महामारी की भविष्यवाणी एक बड़ी चुनौती बनी हुई है।

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सीधे तौर पर, मान लीजिए कि एक नया संक्रामक रोग, जिसके संचरण की गतिशीलता में संक्रामकता और/या संवेदनशीलता में उच्च परिवर्तनशीलता शामिल है, को एक बड़े शहर जैसे अच्छी तरह से जुड़े नेटवर्क में पेश किया जाता है, और मान लीजिए कि एक बड़ा प्रकोप होने वाला है। इसके बाद कोई आर 0 का अनुमान लगा सकता है, यानी शुरुआती मामलों की डेटा श्रृंखला से, उदाहरण के लिए एपिएस्टिम [12] या [13] का उपयोग करके, एक संक्रमित द्वारा उत्पन्न होने वाले नए संक्रमणों की औसत संख्या का एक मोटा अनुमान। संपर्क अनुरेखण अध्ययन द्वारा, कोई भी पीढ़ी के समय का अनुमान लगा सकता है, जो एसआईआर मॉडल को चलाने के लिए आवश्यक अन्य पैरामीटर है। ऐसे परिदृश्य में, कोई यह सवाल पूछ सकता है कि क्या गैर-फार्मास्युटिकल हस्तक्षेपों की अनुपस्थिति में, एक साधारण एसआईआर सिमुलेशन का आउटपुट आने वाले समय का एक अच्छा प्रथम-क्रम अनुमान है। क्या सूत्र (1) इस बात का अच्छा संकेतक है कि हम कब प्रकोप कम होने की उम्मीद कर सकते हैं? कोविड महामारी के दौरान स्वीडन के डेटा के आधार पर, उत्तर नहीं लगता है, देखें [4] जहां यह दिखाया गया है कि घटनाओं में, अप्रत्याशित रूप से, सीरोप्रवलेंस के स्तर में (1) की भविष्यवाणी की तुलना में बहुत कम गिरावट आई है। इस विषय पर पूर्व सैद्धांतिक अध्ययनों में से, जो लेख उपरोक्त प्रश्नों का उत्तर देने के सबसे करीब आता है वह ब्रिटन एट है। अल. [10], जहां लेखक साबित करते हैं कि गतिविधि पैटर्न में भिन्नता (1) पर आधारित शास्त्रीय अनुमान की तुलना में झुंड-प्रतिरक्षा सीमा को काफी कम कर सकती है। इसी तरह के संदेश वाला एक पुराना प्रकाशन है [14]। हालाँकि, ये निष्कर्ष उन मॉडलों पर आधारित अनुभवजन्य अवलोकन हैं जो जनसंख्या विविधता को शामिल करने के लिए बनाए गए हैं। इस अवमंदन प्रभाव को गणितीय रूप से स्थापित नहीं किया गया है और यह स्पष्ट नहीं है कि विभिन्न विविधताएं कैसे और किस हद तक प्रकट होती हैं। विशेष रूप से, यह अस्पष्ट बना हुआ है कि झुंड-प्रतिरक्षा सीमा का अधिक सटीक अनुमान कैसे लगाया जाए। हम टिप्पणी करते हैं कि, SARS-CoV के मामले में, आनुवंशिक, क्रॉस-रिएक्टिव प्रतिरक्षा और जन्मजात प्रतिरक्षा जैसे कई कारकों को संवेदनशीलता में भिन्नता प्रदान करने के लिए दिखाया गया है [15-18]।

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1.1 नवीन योगदान

इस कार्य में, हम गणितीय रूप से सिद्ध करते हैं कि संवेदनशीलता में भिन्नता का मॉडल वक्र पर अवमंदन प्रभाव पड़ता है, जबकि संक्रामकता में भिन्नता नहीं होती है (जब तक यह पूर्व के साथ असंबद्ध है, देखें [7])। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि हम यह भी पाते हैं कि (आमतौर पर अज्ञात) वितरण जो बताता है कि संवेदनशीलता कैसे भिन्न होती है, सटीक मॉडलिंग के लिए आवश्यक नहीं है। अधिक सटीक रूप से हम दिखाते हैं कि एक संवेदनशीलता विषम मॉडल लगभग एक मानक (सजातीय) एसआईआर मॉडल के समान व्यवहार करेगा जहां आबादी के एक हिस्से में स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा होती है और संवेदनशीलता वितरण का सटीक आकार केवल स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा के स्तर को प्रभावित करता है। यह रेखांकित करना महत्वपूर्ण है कि यह प्रतिरक्षा केवल गणितीय मॉडल सरलीकरण के भीतर मौजूद है, और इसे कुछ व्यक्तियों की वास्तविक स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, भले ही हर कोई वायरस के प्रति संवेदनशील हो (कुछ हद तक), जनसंख्या स्तर पर ऐसा प्रतीत होगा जैसे कि आबादी के एक हिस्से में स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा है। हम सटीक गणितीय मॉडलिंग के लिए आवश्यक ऐसी प्रतिरक्षा को "कृत्रिम स्टरलाइज़िंग इम्यूनिटी" (एएसआई) के रूप में संदर्भित करेंगे, और जनसंख्या के उस हिस्से को θ के रूप में संदर्भित करेंगे। जब तक उपलब्ध डेटा से θ का अनुमान लगाया जा सकता है, हम दिखाते हैं कि वास्तविक प्रतिरक्षा सीमा वास्तव में (1) भविष्यवाणी से कम है। परिवर्तनीय संवेदनशीलता की उपस्थिति में सही सूत्र दिया गया है

और महामारी का अंतिम आकार भी उसी कारक (1 − θ) से सिकुड़ गया है। हम संख्यात्मक रूप से यह भी प्रदर्शित करेंगे कि अन्य जनसंख्या विषमताएँ, जैसे कि ब्रिटन एट द्वारा मानी गई हैं। अल. [10], एक समान प्रभाव पड़ता है, और इसलिए इस पेपर के निष्कर्षों का उपयोग बीमारी के प्रसार के लिए अधिक यथार्थवादी विषम मॉडल में अज्ञात की संख्या को महत्वपूर्ण रूप से कम करने के लिए किया जा सकता है।

2 संक्रामक रोग प्रसार की गतिशीलता का गणित

गणितीय निष्कर्षों को समझाने के लिए, हम पहले एक सिंहावलोकन देते हैं कि मूल मॉडल कैसे काम करता है। एसआईआर का मतलब है अतिसंवेदनशील, संक्रमित और ठीक हो चुके, और यह गणितीय महामारी विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले "कम्पार्टमेंटल मॉडल" का सबसे सरल रूप है (इस क्षेत्र के परिचय के लिए उदाहरण देखें [19])। मॉडल में, एस, आई और आर समय टी के कार्य हैं, और यह बताने के लिए कि ये कैसे संबंधित हैं, हम घटना का वर्णन करने वाले (अनावश्यक) फ़ंक्शन ν को भी पेश करेंगे, यानी प्रत्येक दिन नए संक्रमित की मात्रा (भ्रमित न हों) I के साथ, जो व्यापकता का वर्णन करता है)। ν(t) का सूत्र एल्गोरिथम के केंद्र में है, और शुरुआत में, हमारे पास बस ν(t)=I(t) है, जहां एक स्थिरांक है जो यह निर्धारित करता है कि एक औसत संक्रामक कितने नए मामले हैं एक दिन के दौरान उत्पन्न होता है। यदि a एक औसत व्यक्ति द्वारा दैनिक संभावित संक्रामक संपर्कों की औसत संख्या है, और p संभावना है कि इस तरह के संपर्क से वास्तव में संचरण होता है, तो=एपी। जैसे-जैसे अतिसंवेदनशील लोगों की संख्या धीरे-धीरे कम होती जाती है, हमें आबादी के उस हिस्से के साथ गुणा करके इसे संशोधित करना होगा जो अभी भी अतिसंवेदनशील है। यदि कुल जनसंख्या N है तो यह अंश S(t)/N है और सूत्र बन जाता है

शेष समीकरणों को स्थापित करने के लिए हमें जेनरेशन टाइम टीजेनरेशन की भी आवश्यकता है, यानी संक्रमण से ठीक होने तक लगने वाला औसत समय। बाकी समीकरण तो ये हैं

जहां σ {0}}/टीजेनरेशन और 0 विभेदन को दर्शाता है। समीकरणों को सहज रूप से समझना आसान है, घटना लगातार एस से हट जाती है और आई में जुड़ जाती है, और साथ ही, व्यक्तियों के ठीक होने की एक धारा होती है जो आई को दर σI पर छोड़ देती है और इसके बजाय आर में दिखाई देती है।

चित्र 1. बरामद आर और व्यापकता I के ग्राफ़। (ए) विभिन्न एसआईआर मॉडल के लिए बरामद किए गए (कुल जनसंख्या के एक अंश के रूप में) के ग्राफ़ और आर का एक निश्चित मान 0=1.66। सबसे पहले, हम मानक एसआईआर, फिर एस-एसआईआर, और अंत में कृत्रिम स्टरलाइज़िंग इम्युनिटी (एएसआई) के साथ एसआईआर (8) के मापदंडों के साथ प्रदर्शित करते हैं। ध्यान दें कि वे लगभग समान रूप से शुरू करते हैं लेकिन बाद वाले दो पहले की तुलना में बहुत पहले नीचे की ओर झुकते हैं, जो क्लासिकल हर्ड-इम्यूनिटी थ्रेशोल्ड (HIT) को ओवरशूट करता है, जबकि दूसरे दो एक साथ रहते हैं और क्लासिकल HIT से नीचे के स्तर पर होते हैं। (बी) व्यापकता I के लिए संगत वक्र (एसग्राफ चित्र 2 में स्वतंत्र रूप से दिखाए गए हैं)।

एसआईआर, और हमारे एक्सटेंशन, इस अर्थ में नियतात्मक हैं कि यदि हम इसे दो बार चलाते हैं, तो आउटपुट समान होता है। माना जाता है कि ऐसे मॉडल बड़े प्रकोप के दौरान अच्छा काम करते हैं, जहां बड़ी संख्या का कानून लागू होता है [5, 11]। हमारे सभी निष्कर्ष इस स्थिति से संबंधित हैं; मॉडलिंग के लिए, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक चरण या घरेलू ट्रांसमिशन, अन्य प्रकार के मॉडल का उपयोग किया जाता है। किसी नई बीमारी के लिए सबसे स्वाभाविक प्रारंभिक स्थिति I(0)=n को सेट करना है जहां n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 कोविड के लिए समसामयिक मॉडल-19

पेशेवर मॉडलिंग टीमों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समकालीन मॉडल में आमतौर पर एसआईआर की तुलना में कई अधिक डिब्बे होते हैं, उदाहरण के लिए आयु स्तरीकरण, परिवर्तनीय गतिविधि स्तर, भौगोलिक क्षेत्र, आईसीयू की आवश्यकता वाले लोगों के लिए डिब्बे, और मरने वाले लोगों के लिए डिब्बे। उदाहरण के लिए, इंपीरियल कॉलेज की कोविड प्रतिक्रिया टीम [20] के सदस्यों द्वारा प्रकाशित मॉडल के मूल में एक बुनियादी एसआईआर है ([की पूरक सामग्री में पृष्ठ 9 के साथ-साथ एस2 चित्र देखें) 20]), और यही बात एक प्रसिद्ध स्वीडिश मॉडलिंग टीम द्वारा उपयोग किए गए मॉडल [21] के लिए भी लागू होती है, जो स्वीडन में पहली लहर के दौरान आईसीयू अधिभोग और मौतों को उच्च सटीकता के साथ फिट करने में कामयाब रही। बाद वाला मॉडल विभिन्न क्षेत्रों और इनके बीच इंटरैक्शन पैटर्न को भी ध्यान में रखता है, लेकिन क्षेत्र की गतिशीलता एक सरल एसईआईआर है। ऊष्मायन समय को शामिल करते हुए, "एक्सपोज़्ड" के लिए एक कम्पार्टमेंट ई जोड़ना भी आम है, (जैसा कि वास्तव में उपरोक्त दो उदाहरणों में किया गया है)। हालाँकि, जैसा कि हम धारा 4 में दिखाएंगे, इसका समग्र व्यवहार पर सीमित प्रभाव पड़ता है। इससे हमारा तात्पर्य यह है कि, SEIR के लिए पैरामीटर मानों (R0, ऊष्मायन समय, आदि) के प्रत्येक सेट के लिए, SIR (और इसके विपरीत) के साथ लगभग समान वक्र प्राप्त करना संभव है, अगर हमें पैरामीटर को बदलने की अनुमति है मान थोड़ा सा. चूँकि इन मापदंडों का सटीक मूल्य कभी ज्ञात नहीं होता है, इसका मतलब यह है कि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कोई भी एसईआईआर की तरह ही एसआईआर पर भी भरोसा कर सकता है, कम से कम समग्र रुझानों को समझने के लिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में हम R0-मानों के साथ SEIR और SIR का एक उदाहरण दिखाते हैं जो 1% भिन्न हैं, और ग्राफ़ लगभग समान हैं। उदाहरण के लिए, महामारी के अंतिम आकार में 1.5% से कम का अंतर है। इसके अलावा, गंभीर रूप से बीमार और मृत्यु से संबंधित डिब्बों का भी समग्र व्यवहार पर मामूली प्रभाव पड़ता है, सिर्फ इसलिए कि संक्रमित लोगों का केवल एक छोटा सा हिस्सा ही इन डिब्बों में पहुंचेगा। इसके आधार पर, हम तर्क देते हैं कि सामान्य समग्र व्यवहार को समझने के लिए, जैसा कि हम यहां रुचि रखते हैं, सरल एसआईआर मॉडल का अध्ययन करना पर्याप्त है। SIR/SEIR-प्रकार के मॉडल का उपयोग करके SARS-CoV-2 की भविष्यवाणी/मॉडल करने के अन्य प्रयासों के लिए उदाहरण देखें [22, 23]।

इसके विपरीत, अन्य प्रकार की विषमताएं जैसे परिवर्तनशील गतिविधि स्तर और आयु समूहों के बीच अलग-अलग इंटरैक्शन पैटर्न, मॉडल वक्रों पर उल्लेखनीय प्रभाव डालते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटन एट द्वारा आयु-गतिविधि स्तरीकृत एसईआईआर। अल. [10] अनुरूप इनपुट मापदंडों को देखते हुए, मानक एसआईआर की तुलना में घटना का शिखर लगभग 35% कम है। यह [10] के निष्कर्षों के अनुरूप है, जहां एसआईआर पर आधारित भविष्यवाणी (1) की तुलना में आयु-गतिविधि मॉडल के लिए झुंड-प्रतिरक्षा सीमा में लगभग 30% की गिरावट देखी गई है। इस पर आगे धारा 4.2 में चर्चा की जाएगी। इसके अलावा, परिवर्तनशील संवेदनशीलता का एक बड़ा प्रभाव होता है, लेकिन इस पर पहले ही परिचय में चर्चा की जा चुकी है और धारा 3 में इसका आगे विश्लेषण किया गया है।

2.2 मॉडल बनाम वास्तविकता बेमेल?

यह निर्धारित करना कठिन है कि अधिक उन्नत मॉडल सटीक रूप से COVID के प्रसार का वर्णन करते हैं या नहीं-19, क्योंकि कोई हमेशा यह तर्क दे सकता है कि गैर-फार्मास्युटिकल हस्तक्षेप (एनपीआई), साथ ही स्वैच्छिक व्यवहार परिवर्तन, का एक बड़ा प्रभाव पड़ा है। निश्चित उत्तर का दावा किए बिना, स्वीडन का मामला उसकी आरामदायक रणनीति के कारण दिलचस्प है, जिसे 2020-2021 के दौरान लगभग स्थिर रखा गया था। विशेष रूप से, स्कूलों को खुला रखा गया, जो लोग घर से काम नहीं कर सकते थे उन्हें काम पर जाने के लिए प्रोत्साहित किया गया, संक्रमित परिवारों के परिवार के सदस्यों को काम करने या स्कूल जाने के लिए बाध्य किया गया, और व्यापक फेस-मास्क का उपयोग कभी भी लागू नहीं किया गया, जिससे देश आदर्श बन गया। वास्तविक डेटा के साथ मॉडलों की तुलना करने के लिए। अपर्याप्त परीक्षण के कारण, मामलों की समय श्रृंखला सीमित मूल्य की है, लेकिन रक्त के नमूनों से सेरोप्रवलेंस के माप से बहुमूल्य जानकारी मिलती है क्योंकि यह स्थापित हो चुका है कि जिन लोगों को सीओवीआईडी ​​​​मिलती है उनमें से अधिकांश लोगों में एंटी-बॉडी भी विकसित हो जाती है। 24] और ये एंटीबॉडीज़ कम से कम 9 महीने तक बनी रहती हैं [25, 26]। स्वीडिश पब्लिक हेल्थ एजेंसी [27] द्वारा प्रकाशित परिणाम बताते हैं कि 2020 की पहली लहर के बाद स्टॉकहोम क्षेत्र में लगभग 11% लोगों को सीओवीआईडी ​​​​-19 था, जो दूसरी लहर के बाद फरवरी 2021 में लगभग 22% तक बढ़ गया। इसके अलावा स्वीडन में अस्पताल के कर्मचारियों (फेस-मास्क का उपयोग नहीं करने वाले) के बीच, पहली लहर के बाद प्रसार लगभग 20% [26] था, जो अन्य जगहों पर संक्रमित घरों के अवलोकन के अनुरूप था [28]।

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हालाँकि, Sjo¨din et द्वारा मॉडल। अल., जिसका पहले उल्लेख किया गया है, पहली लहर के बाद संक्रमित लोगों की संचयी संख्या लगभग 3{2}}% होने की भविष्यवाणी करता है, 0-59 आयु वर्ग के लोगों के बीच संपर्कों में 56% की कमी और उन लोगों में 98% की कमी के बावजूद। आयु 60-79 (यह परिदृश्य डी के लिए है जो आईसीयू-अधिभोग और मृत्यु को सटीक रूप से फिट करता है, चित्र 2 बी देखें, यह ध्यान में रखते हुए कि स्टॉकहोम क्षेत्र में 2.4 मिलियन निवासी हैं)। उसी पंक्ति के साथ, ब्रिटन एट। अल. [10] अनुमान है कि कुछ ही महीनों में कुल संक्रमित 43% लोगों में यह बीमारी ख़त्म हो सकती है। जबकि लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह कोई वास्तविक भविष्यवाणी नहीं है, यह COVID के लिए यथार्थवादी मापदंडों पर आधारित है। इंपीरियल कॉलेज [29] की प्रसिद्ध रिपोर्ट 9 ने अधिक उन्नत तथाकथित "एजेंट-आधारित मॉडल" के आधार पर "कुछ न करें" परिदृश्य में कुल 81% संक्रमित होने की भविष्यवाणी की थी, जो घरेलू संपर्कों को भी अलग से मानता है। रिपोर्ट में तालिका 3 के अनुसार, सबसे प्रभावी एनपीआई परिदृश्य में मौतों की संख्या और चरम आईसीयू क्षमता को क्रमशः 50% और 81% तक कम किया जा सकता है, जो निश्चित रूप से स्वीडन में लागू किए गए से कहीं आगे है। हालाँकि, फरवरी 2021 तक, जब मूल वुहान स्ट्रेन में गिरावट आ रही थी [30], ये कम की गई भविष्यवाणियाँ वास्तविक आंकड़े को लगभग 4 (मौतें) और 10 (आईसीयू) (जब सीधे स्टॉकहोम काउंटी में अनुवादित किया जाता है) के कारक से अधिक आंकती हैं।

चित्र 2. अतिसंवेदनशील एस के ग्राफ़। चित्र 1 में 3 ग्राफ़ के अनुरूप एस-वक्र। जैसा कि चित्र 1 में है, नीले काले और गुलाबी को एन द्वारा विभाजित करके सामान्यीकृत किया गया है। काला वक्र इस प्रकार कुल जनसंख्या का अनुपात दर्शाता है वायरस के प्रति संवेदनशील. ध्यान दें कि जब महामारी समाप्त हो जाती है, तब भी लगभग 68% लोग अतिसंवेदनशील होते हैं, जो शास्त्रीय एसआईआर के बिल्कुल विपरीत है, जिसका स्तर लगभग 34% है। गुलाबी वक्र यह मानकर शुरू होता है कि 57% में कृत्रिम स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा है, और इसलिए इसका प्रारंभिक मूल्य 43% है (यह संख्या सूत्र (8) का उपयोग करके चुनी गई थी)। ध्यान दें कि ऊर्ध्वाधर अनुवाद को छोड़कर गुलाबी वक्र बिल्कुल काले जैसा दिखता है, जो इस लेख के मुख्य निष्कर्षों को दर्शाता है। S-SIR मॉडल में तीन उपसमूह S1, S2, और S3 हैं जो p1=1 ("सुपर-ससेप्टिबल्स" लेबल), p2=0.1 ("सामान्य" लेबल), और p{{ 17}}.02 ("अच्छी तरह से संरक्षित" लेबल)। यहां हमने प्रत्येक संबंधित उपसमूह में लोगों की संख्या को सामान्य कर दिया है, इसलिए सभी वक्र 1 से शुरू होते हैं। ध्यान दें कि अति संवेदनशील समूह में जैसे ही इसका स्तर समाप्त होता है, बाद के दो उप-समूहों में प्रसार कैसे समाप्त हो जाता है।

यहां मुद्दा किसी विशेष मॉडल की आलोचना करना नहीं है, और स्पष्ट रूप से, अकेले स्वीडन का मामला यह साबित नहीं कर सकता कि मॉडल सही या गलत हैं, जैसा कि शुरू में बताया गया है। हालाँकि, वास्तविक स्वीडिश डेटा और ऊपर वर्णित विभिन्न मॉडल परिणामों के बीच भारी विसंगति के आधार पर, यह एक वैध प्रश्न है कि क्या "समसामयिक मॉडल" में समाज में महामारी के प्रसार और अंतिम आकार को काफी हद तक कम आंकने की प्रवृत्ति है। हमें इसकी संभावना लगती है कि उत्तर हाँ है, और इस परिकल्पना के लिए और अधिक समर्थन [4] में दिया गया है। इस पेपर में हम प्रदर्शित करते हैं कि परिवर्तनशील संवेदनशीलता एक ऐसा कारक है जो इस घटना में योगदान देता है।

2.3 पूर्व-प्रतिरक्षा, सुपर-स्प्रेडर्स और अन्य विषमताएँ

हम वक्रों को गीला करने के लिए समीकरण प्रणाली (3) और (4) को कैसे बदल सकते हैं? सबसे सरल विकल्प यह मान लेना है कि जनसंख्या के एक निश्चित अंश θ में किसी न किसी प्रकार की स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा है ताकि वे वायरस से संक्रमित न हो सकें। गणितीय रूप से, प्रारंभिक स्थितियों को अद्यतन करके इसे आसानी से प्राप्त किया जा सकता है

जहां ω {{0}} − θ प्रारंभिक रूप से अतिसंवेदनशील का अंश है। हालाँकि, यह बहुत यथार्थवादी नहीं है क्योंकि प्रतिरक्षा आमतौर पर द्विआधारी नहीं होती है, यानी या तो 0% या 100% (तथाकथित स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा)। यह परिकल्पना कि कुछ लोग दूसरों की तुलना में अधिक संवेदनशील होते हैं, बाइनरी इम्युनिटी की तुलना में कहीं अधिक प्रशंसनीय है। SARS-CoV-2 के विशेष मामले में, यह परिकल्पना कि कुछ व्यक्तियों में कुछ प्रकार की पूर्व-प्रतिरक्षा थी, विभिन्न प्रकाशनों में, कम से कम कुछ के अनुसार, अप्रत्याशित रूप से हल्की प्रारंभिक संक्रमण तरंगों के स्पष्टीकरण के रूप में सुझाई गई थी। उदाहरण [31]. यह पेपर कई अध्ययनों को भी सूचीबद्ध करता है जो दिखाते हैं कि कुछ लोगों में प्राथमिक टी-सेल प्रतिरक्षा थी। तब से, विभिन्न लेखों ने विभिन्न तंत्रों का प्रदर्शन किया है जो कुछ व्यक्तियों को SARS-CoV के प्रति अधिक या कम संवेदनशील बनाते हैं -2, उदाहरण के लिए [15-18]। यह भी अच्छी तरह से स्थापित है कि संक्रामकता का स्तर नाटकीय रूप से भिन्न होता है, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है (उदाहरण देखें [32])। इसके अलावा, इसका इस बात से कोई संबंध नहीं है कि वे कितने बीमार हो जाते हैं; बहुत अधिक वायरल लोड वाले कई व्यक्ति स्पर्शोन्मुख भी होते हैं। इसके प्रकाश में, सबसे संभावित धारणा यह है कि जिस तरह से वायरस मानव में प्रवेश करता है वह बड़े व्यक्तिगत भिन्नताओं के अधीन है।

कोविड या किसी संक्रामक बीमारी के प्रसार के लिए अधिक यथार्थवादी मॉडल बनाने के लिए, डिब्बों एस और आई को कई उप-डिब्बों एस1 में विभाजित करना उचित है। . ., एसजे और आई1, . . ., आईके जहां प्रत्येक डिब्बे में लोगों की संवेदनशीलता/संक्रामकता का स्तर अलग-अलग है। यह देखने के लिए कि बीमारी के प्रसार के लिए एक संगत समीकरण प्रणाली कैसे स्थापित की जाए, याद रखें कि एक व्यक्ति द्वारा दैनिक संपर्कों की संख्या थी। अब हम pjk को प्रायिकता मानते हैं कि जब Sj में कोई व्यक्ति Ik में किसी व्यक्ति से मिलता है तो ऐसा संपर्क संचरण की ओर ले जाता है। समूह Sj से आने वाली घटना νj तब बन जाती है

(सीएफ (3)). चूँकि हम संक्रामकता और संवेदनशीलता के बीच कोई संबंध नहीं मानते हैं, इसलिए नए संक्रामकों की कुल मात्रा ν1 + है। . . + νJ को फिर समूहों I1, के बीच वितरित किया जाता है। . ., आईके उनके सापेक्ष आकार के अनुसार। (4) में शेष समीकरण इस नई वेक्टर सेटिंग में आसानी से संशोधित हो जाते हैं, हम सेक का संदर्भ लेते हैं। विवरण के लिए S1 फ़ाइल में 1. आने वाले अनुभाग में, हम समीकरणों की इस प्रणाली के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं, और अनुभाग 4 में हम एसईआईआर और परिवर्तनीय गतिविधि स्तरों जैसे अन्य विस्तारों पर भी चर्चा करते हैं।

3 मुख्य परिणाम

इस शोध का मुख्य बिंदु यह है कि ऊपर उल्लिखित प्रकार के एसआईआर और एसईआईआर दोनों के विस्तार से समग्र वक्र प्राप्त होते हैं जो मूल एसआईआर से केवल मामूली रूप से भिन्न होते हैं, बशर्ते कि कृत्रिम स्टरलाइज़िंग इम्युनिटी (एएसआई) का स्तर शामिल हो। सबसे पहले, एस1 फ़ाइल की धारा 1 में विवरण स्थापित करने के बाद, हम प्रस्ताव 1.1 में साबित करते हैं कि विभिन्न उप-डिब्बों में आई के विभाजन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, आगे [8, 9, 11] में निष्कर्ष का समर्थन करते हैं। दूसरे शब्दों में, "सुपर-स्प्रेडर्स" का अस्तित्व किसी भी उल्लेखनीय तरीके से बीमारी के प्रसार की गतिशीलता को प्रभावित नहीं करता है। जटिलता की इस परत को हटाकर, समीकरण (6) सरल बनाता है

जहां पीजे संचरण की संभावना है जब समूह एसजे में एक अतिसंवेदनशील व्यक्ति का सामना "औसत" संक्रामक व्यक्ति से होता है। हम समीकरणों की पूरी प्रणाली के लिए एस1 फ़ाइल में समीकरण (14)-(16) का उल्लेख करते हैं, जिसे हम "संवेदनशीलता-स्तरीकृत एसआईआर" के लिए एस-एसआईआर लेबल करते हैं। यह एक बहुत ही अजीब तथ्य है कि I के विपरीत, S को उप-खंडों में विभाजित करने से गणितीय रूप से एक सरल समीकरण प्रणाली में कम नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, और यह इस पेपर का मुख्य परिणाम है, हम गणितीय रूप से साबित कर सकते हैं कि एस-एसआईआर का समग्र व्यवहार (प्रचलन I और बरामद आर के संदर्भ में) मूल एसआईआर (3) और (4) से केवल मामूली अंतर है। प्रारंभिक स्थितियों में एएसआई, जैसा कि हमने (5) में किया था। यह प्रमेय 2.1 का सार है, जो एस1 फ़ाइल के खंड 2 में पाया जाता है। दी गई सम्भावनाएँ p1, . . ., पीजे, प्रमेय ट्रांसमिशन गुणांक के उपयुक्त मूल्यों के लिए सूत्र भी प्रदान करता है (घटना की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है ν (3) में) और कृत्रिम स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा θ (प्रारंभिक स्थितियों में उपयोग किया जाता है (5)), निम्नानुसार:

जहां ω {{0}} − θ और wj प्रारंभ में Sj से संबंधित जनसंख्या का अंश है; डब्ल्यूजे=एसजे(0)/एन। इन परिणामों का एक सरल चित्रण S1 फ़ाइल में अनुभाग 1.3 में पाया गया है। ऐसे लोगों के एक अंश के रूप में θ {{6 }} − ω की व्याख्या करते समय सावधान रहना महत्वपूर्ण है, जिनके पास वास्तव में स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा है, क्योंकि वास्तव में, θN प्रतिरक्षा और ωN अतिसंवेदनशील का विभाजन नहीं है, यही कारण है कि हम एएसआई का संक्षिप्त नाम चुना है; कृत्रिम स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा। इन परिणामों को चित्र 1 और 2 में चित्रित किया गया है। विशेष रूप से ध्यान दें, बल्कि आश्चर्यजनक रूप से, जैसे ही सबसे कमजोर संवेदनशीलता समूह (चित्र 2 में सुपर-संवेदनशील लेबल) में संक्रमित करने के लिए नए व्यक्ति समाप्त हो जाते हैं, अन्य सभी समूहों में संचरण बंद हो जाता है। कुंआ। यह व्यवहार विशिष्ट है, विभिन्न मानों के साथ समान उदाहरण के लिए S1 फ़ाइल में S1 चित्र देखें। हमने एसईआईआर के साथ मॉडलिंग करते समय और उदाहरण के लिए विभिन्न आयु समूहों और चर गतिविधि स्तरों को शामिल करते समय भी यही घटना देखी है, [10]; ऐसी कई परतों वाले मॉडल ऐसे आउटपुट उत्पन्न करते हैं जो एएसआई के साथ एसआईआर के आउटपुट से व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य लगते हैं, यानी (3)-(5)। हम एक संख्यात्मक अवलोकन के रूप में छोड़ते हैं जिसकी चर्चा हम आगे धारा 4 में करते हैं। विशेष रूप से, किसी समाज में एएसआई θ के अनुमानित स्तर को देखते हुए, यह निष्कर्ष निकालना गणितीय रूप से असंभव है कि उम्र और व्यवहार में असमानताओं के कारण θ का कितना हिस्सा होता है, और संवेदनशीलता में भिन्नता से कितना आता है। संयोग से, प्रत्येक पेपर के अंत में [1-3], केर्मैक और मैककेंड्रिक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके मॉडल में एक कमजोरी यह है कि वे एक समान संवेदनशीलता मानते हैं, जिसे वे कई मामलों में अवास्तविक मानते हैं। हालाँकि, ऐसा लगता है कि वे कभी भी इस मुद्दे को संबोधित नहीं कर पाए, और हमें साहित्य में कहीं और इस स्थिति से निपटने के तरीके का कठोर गणितीय विश्लेषण भी नहीं मिला है। विशेष रूप से, हर्ड-इम्यूनिटी थ्रेशोल्ड (एचआईटी) के लिए फॉर्मूला 1 - 1/आर0, जो उनके मौलिक दस्तावेजों से उत्पन्न होता है, बहुत गलत हो सकता है, जैसा कि [10] में सुझाया गया है। आने वाले अनुभाग में, हम एएसआई को ध्यान में रखते हुए इस सूत्र का एक परिष्कृत संस्करण प्राप्त करते हैं।

3.1 आर0 और झुंड-प्रतिरक्षा सीमा के लिए सूत्र

यह देखना आसान है कि पीढ़ी का समय टीजेनरेशन (नीचे प्रस्तुत किया गया है (3)) एक संक्रमित व्यक्ति के संक्रमित रहने के औसत समय के साथ मेल खाता है। चूंकि यह संक्रमण दर है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि पूरी तरह से अतिसंवेदनशील आबादी मानते हुए, मानक एसआईआर (3) और (4) के लिए आर 0=पीढ़ी। हालाँकि, ASI θ की उपस्थिति में, वास्तविक संक्रमण दर केवल (1 − θ) है और इसलिए R0-मान के लिए सही सूत्र बन जाता है

R{0}} के लिए उपरोक्त मान वह मान है जिसका अनुमान प्रारंभिक के साथ मॉडल (3) और (4) द्वारा उत्पन्न वास्तविक समय श्रृंखला से उदाहरण के लिए EpiEstim [12] या [13] द्वारा लगाया जाएगा। डेटा (5). गणितीय रूप से, आर 0 को नए संक्रमणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक संक्रमित व्यक्ति रोग-प्रेरित प्रतिरक्षा का निर्माण शुरू होने से पहले उत्पन्न करता है। (इसकी गणना करने के लिए, पहले I 0 (t) {{1{{15} }/टीजेनरेशन, और फिर परिणामी घटना ν को एकीकृत करें, जैसा कि (3) द्वारा दिया गया है, जबकि एस(टी) को एस(0)=ωN पर स्थिर रखते हुए।) इसी तरह, कोई देखता है कि प्रभावी आर-मूल्य, उपरोक्त मॉडल में Re(t) को दर्शाया गया है

शब्द "हर्ड-इम्यूनिटी" के कई अर्थ हैं [33]। गणितीय महामारी विज्ञान में, एक निश्चित मॉडल और एक नए वायरस को देखते हुए, हर्ड-इम्यूनिटी थ्रेशोल्ड को Re(t0)=1 प्राप्त करने के लिए आवश्यक संक्रमित और ठीक हुए लोगों की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। तब से

(याद करें (4)), हम देखते हैं कि यह उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर संक्रामक लहर स्वाभाविक रूप से कम होने लगती है। इस बिंदु से परे, कोई भी आयात मामला नई महामारी को जन्म नहीं देगा। हम इस मान को HIT द्वारा निरूपित करते हैं।

एसआईआर मॉडल में, यह माना जाता है कि व्यक्ति सजातीय रूप से मिश्रित होते हैं और ठीक हो चुके व्यक्तियों में सुरक्षात्मक एंटीबॉडी (यानी स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा) होती है। हालांकि यह ज्ञात है कि एंटीबॉडी समय के साथ कम हो जाती हैं, कम से कम SARS-CoV-2 के लिए, यह कमी प्रकोप की अवधि की तुलना में बहुत धीमी गति से होती है [25], और इसलिए बाद की धारणा चर्चा के लिए उचित है कम समय सीमा में झुंड-प्रतिरक्षा सीमा। हालाँकि, हम इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि कम होने का मतलब है कि झुंड प्रतिरक्षा कभी भी स्थिर स्थिति नहीं होती है, लेकिन समय के साथ खत्म हो जाएगी, और इसलिए यह तथ्य कि झुंड प्रतिरक्षा एक विशेष लहर के दौरान पहुंच जाती है, भविष्य की लहरों को नहीं रोकती है, जो या तो उत्पन्न हो सकती है घटती एंटीबॉडी या नए वेरिएंट का उभरना। अब मान लें कि एएसआई के एक निश्चित स्तर वाला एक एसआईआर-मॉडल किसी दिए गए प्रकोप का सटीक वर्णन करता है। झुंड-प्रतिरक्षा सीमा हिट तब S(0)/N − S(t0)/N के बराबर होती है जहां t0 वह समय बिंदु है जब झुंड-प्रतिरक्षा सीमा तक पहुंच जाता है, जिसे Re(t{{10}})=1 को हल करके पाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, HIT उस समय t0 पर अतिसंवेदनशीलों के अंश S(t0)/N के बीच का अंतर है जब झुंड प्रतिरक्षा तक पहुंच जाती है, और प्रारंभ में अतिसंवेदनशीलों के अंश के बीच का अंतर होता है। एएसआई के साथ एसआईआर-मॉडल में, Re(t0)=1 को हल करने पर समीकरण S(t0)/N=1/ प्राप्त होता है।

टीपीढ़ी, और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं

जहां हमने R0 की परिभाषा के रूप में पिछले सूत्र (9) का उपयोग किया था। यह परिचय में समीकरण (2) में प्रस्तुत झुंड प्रतिरक्षा सीमा का सूत्र है। इसका तात्पर्य यह है कि शास्त्रीय सूत्र (1), उदाहरण के लिए एपिएस्टिम से आर 0 का अनुमान दिया गया है, झुंड-प्रतिरक्षा सीमा का अधिक अनुमान लगा रहा है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यह हमें एचआईटी की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है, यह देखते हुए कि एएसआई पैरामीटर θ=1 − ω का अनुमान उपलब्ध डेटा से लगाया जा सकता है। शास्त्रीय सूत्र भ्रामक हो सकता है, यह पहले भी बताया गया है [14], और एक हालिया योगदान यह दर्शाता है कि एचआईटी मूल्य (1) से काफी कम हो सकता है [10]। ये कार्य केवल उन मॉडलों का परीक्षण करके इसे स्पष्ट करते हैं जिनमें विषमताएं (मुख्य रूप से सामाजिक मिश्रण पैटर्न, परिवर्तनशील संवेदनशीलता नहीं) शामिल हैं, और इसलिए यह एचआईटी के वास्तविक अनुमान के लिए बहुत कम मार्गदर्शन प्रदान करता है। सूत्र (2), हमारी जानकारी के अनुसार, पहली बार इस प्रभाव को गणितीय सूत्र दिया गया है। संक्षेप में, हमने एएसआई के साथ मॉडल एसआईआर में झुंड-प्रतिरक्षा सीमा के लिए एक नया फॉर्मूला निकाला है। चूँकि धारा 3 के परिणाम यह दर्शाते हैं कि यह संवेदनशीलता-स्तरीकृत एसआईआर के लिए एक अच्छा सन्निकटन है, यह निम्नानुसार है कि उपरोक्त सूत्र इस मॉडल पर भी लागू होता है, (8) द्वारा दिए गए ω के साथ। धारा 4 में हम संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करते हैं कि यही निष्कर्ष अन्य विषमताओं के लिए भी सत्य प्रतीत होता है, और इसलिए झुंड-प्रतिरक्षा सीमा का अधिक सामान्यतः अनुमान लगाने के लिए सूत्र एक बेहतर विकल्प हो सकता है (यह मानते हुए कि उपलब्ध डेटा से θ का मान अनुमान लगाया जा सकता है) ). यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि (10) इस धारणा के तहत लागू होता है कि प्रतिरक्षा प्राकृतिक प्रसार द्वारा प्राप्त की जाती है। टीकाकरण के लिए झुंड-प्रतिरक्षा सीमा अभी भी शास्त्रीय सूत्र (1) द्वारा दी गई है (यह मानते हुए कि टीका स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा देता है), जिसे एस1 फ़ाइल की धारा 1.2 में दिखाया गया है। यह इंगित करता है कि टीकाकरण द्वारा झुंड-प्रतिरक्षा हासिल करना कठिन है, लेकिन व्यवहार में इन परिणामों को स्थापित करने के लिए और अधिक काम करने की आवश्यकता है।

3.2 नमी और महामारी का अंतिम आकार

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, कई कार्यों ने स्थापित किया है कि परिवर्तनीय संवेदनशीलता का व्यापकता पर प्रभाव पड़ता है। उपरोक्त परिणामों से, अब इसकी मात्रा निर्धारित की जा सकती है। मान लीजिए ð~S; ~मैं; ~ RÞ एक समरूप और पूरी तरह से अतिसंवेदनशील आबादी में SIR का एक समाधान है (इसलिए ~Sð{0}}Þ ¼ N), और ~a को संबंधित संचरण दर होने दें। ASI θ के एक निश्चित मान को देखते हुए, यह देखना आसान है कि ðS; मैं; RÞ ¼ ðo~S; ओ~मैं; o~ RÞ (3)–(5) का एक समाधान है, जहां ω=1 − θ और a ¼ ~a=o। इसलिए एएसआई का प्रभाव वास्तव में मानक एसआईआर वक्रों के पुनर्स्केलिंग के अलावा और कुछ नहीं है। ध्यान दें कि पुनर्स्केलिंग से R0 का मान नहीं बदलता है, जो कि सूत्र (9) के कारण दोनों मामलों में पीढ़ी ¼ ~aT पीढ़ी द्वारा दिया जाता है। यह सर्वविदित है कि सामान्य एसआईआर (साथ ही एसईआईआर) में महामारी का अंतिम आकार ~p ¼ ~ Rð1Þ=N 1 को हल करके दिया जाता है।

इसलिए, एएसआई के साथ एसआईआर में संवेदनशीलता-स्तरीकृत एसआईआर की कमी के बारे में हमारे मुख्य परिणाम के संयोजन में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उपरोक्त समाधान π, (8) द्वारा दिए गए ω के साथ एस-एसआईआर के लिए महामारी के अंतिम आकार का एक अच्छा अनुमान है। .

4 अधिक सामान्य मॉडलों तक विस्तार

कोविड जैसी बीमारी के लिए, एक छोटी ऊष्मायन अवधि के बाद एक छोटी संक्रामक अवधि के साथ, एसआईआर का उपयोग करके मॉडलिंग करने और एसईआईआर का उपयोग करने के बीच केवल मामूली अंतर होता है, और इसलिए हमारा मानना ​​है कि इस पेपर के मुख्य निष्कर्ष विस्तारित हैं इस मॉडल को भी. इसी तरह, हमने संख्यात्मक रूप से पाया है कि अधिक उन्नत एसईआईआर मॉडल परिवर्तनीय आयु और गतिविधि स्तरों को ध्यान में रखते हुए, अगर हम एएसआई को शामिल करते हैं तो एसआईआर की तरह ही व्यवहार करते हैं। हम इन टिप्पणियों के औपचारिक सत्यापन को एक खुले अनुमान के रूप में छोड़ देते हैं और कुछ उदाहरण दिखाकर खुद को संतुष्ट कर लेते हैं।

4.1 एसईआईआर

एसईआईआर में आर 0 के अलावा दो प्रमुख पैरामीटर हैं, अर्थात् टिनफेक्शियस और टिनक्यूबेशन, जहां पहला वह औसत समय है जब कोई व्यक्ति संक्रामक होता है और दूसरा वह समय होता है जब कोई व्यक्ति संक्रमित होता है जब से वह संक्रामक हो जाता है। इनके अनुमान अलग-अलग हैं, हम यहां ब्रिटन एट का अनुसरण कर रहे हैं। अल. [10] और टिन्क्यूबेशन=4 और टिनफेक्शियस=3 सेट करें। इसके बाद यह पता चलता है कि पीढ़ी का समय बराबर होता है

जहां पीढ़ी का समय किसी व्यक्ति के संक्रमित होने से लेकर उस व्यक्ति के दूसरों को संक्रमित करने तक लगने वाला औसत समय है (औपचारिक व्युत्पत्ति के लिए [30] की पूरक सामग्री में समीकरण (5) देखें)। ध्यान दें कि यह पिछले अनुभागों में टीजेनरेशन की पसंद के अनुरूप है। SEIR और SIR द्वारा COVID के लिए लगभग समान आउटपुट देने का कारण यह है कि दोनों मुख्य रूप से जनरेशन और R के मूल्यों द्वारा निर्धारित होते हैं। बुद्धिमानी से, एक बड़े प्रकोप के दौरान, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई व्यक्ति 7 दिनों तक बीमार रहता है और उन 7 दिनों के दौरान आर 0 लोगों को संक्रमित करता है, या यदि वह 4 दिनों के लिए ऊष्मायन से गुजरता है और फिर आर {{11} को संक्रमित करता है। } शेष 3 दिनों के दौरान लोग। उदाहरण के तौर पर, चित्र 3(ए) पर विचार करें; हम उपरोक्त सूत्रों के अनुसार एसआईआर और एसईआईआर के लिए पैरामीटर चुनकर एक बहुत ही समान व्यवहार देखते हैं (आर 0 तय के साथ)। इसके अलावा, मुफ्त मापदंडों की अनुमति देकर, एसआईआर को लगभग एसईआईआर के समान व्यवहार करने के लिए बनाया जा सकता है (यहां तक ​​कि एएसआई को शामिल किए बिना भी)। इस दावे का समर्थन करने के लिए, चित्र 3 में नीले और काले वक्रों के बीच लगभग पूर्ण ओवरलैप नहीं, पुनर्जनन को स्थिर रखकर और R0 को एक प्रतिशत संशोधित करके प्राप्त किया गया था। चूंकि इनपुट मापदंडों का सटीक मान वास्तव में अज्ञात है, इसलिए हम तर्क देते हैं कि यह अप्रासंगिक है कि कोई एसआईआर या एसईआईआर का उपयोग करता है, कम से कम SARS-CoV-2 और समान विशेषताओं वाले वायरस के मॉडलिंग के लिए। इसलिए, इस पेपर की टिप्पणियों का विस्तार एसईआईआर तक भी होना चाहिए, भले ही हम इसे गणितीय रूप से स्थापित करने में सक्षम न हों।

4.2 विषमांगी मॉडल

परिवर्तनीय संवेदनशीलता जनसंख्या विविधता का एकमात्र प्रकार नहीं है जो व्यापक स्तर पर एएसआई के रूप में प्रकट हो सकती है। [10] में लेखकों ने विभिन्न आयु समूहों के बीच परिवर्तनशील इंटरैक्शन पैटर्न को ध्यान में रखते हुए एक विषम एसईआईआर मॉडल विकसित किया है, साथ ही इस तथ्य को भी ध्यान में रखा है कि प्रत्येक आयु वर्ग के लोगों के बीच अलग-अलग मात्रा में संपर्क होते हैं। हमने उनके मॉडल को लागू किया और फिर एएसआई के साथ एसआईआर के लिए पैरामीटर मांगे जो समान आउटपुट देंगे। परिणाम चित्र 3(बी) में देखा गया है। फिर, अंतर इतना महीन है कि व्यवहार में इसका पता लगाना असंभव होगा। अब से, गणितीय मॉडल में जनसंख्या (पूर्व) प्रतिरक्षा के एक निश्चित स्तर के रूप में जो दिखाई दे सकता है, वह वास्तव में विभिन्न जनसंख्या विषमताओं का मिश्रण हो सकता है, जिसमें परिवर्तनीय संवेदनशीलता केवल एक घटक है।

चित्र 3. एएसआई के साथ एसआईआर का उपयोग करके अनुमान। (ए) आर0=1.66 और टिनफेक्शियस + टिनफेक्टिव=7 (नीला) के साथ एसईआईआर, समान आर0 और टीजेनरेशन=7 (लाल) के साथ एसआईआर, और अंत में एसआईआर 1% कम R0 के साथ, वही T जनरेशन (काला)। (बी) आयु-गतिविधि ने एसईआईआर को आर {{1 {{15 }}}}.66 और टिनफेक्शियस + टिनफेक्शियस=7 (नीला) के साथ स्तरीकृत किया; एसआईआर समान टीजेनरेशन का उपयोग कर रहा है लेकिन 25% का एएसआई और थोड़ा अलग आर0 (काला)।

5 चर्चा

ऐसे कई कारण हो सकते हैं कि क्यों कुछ लोग नए वायरस से संक्रमण के प्रति दूसरों की तुलना में अधिक संवेदनशील होते हैं, जिनमें जन्मजात और अनुकूली प्रतिरक्षा से लेकर अन्य ज्ञात वायरस से क्रॉस-रिएक्टिव प्रतिरक्षा के साथ-साथ आनुवंशिक अंतर भी शामिल हैं। एक नई बीमारी के लिए, प्री-इम्यूनिटी को स्टरलाइज़ करना, यानी ऐसे व्यक्ति जो बिना वायरस के पूरी तरह से प्रतिरक्षित हैं, सबसे अधिक संभावना है कि इसका अस्तित्व ही नहीं है। इस अध्ययन का मुख्य बिंदु यह है कि जनसंख्या स्तर पर स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा कैसी दिखती है, इसका निरीक्षण करने के लिए व्यक्तिगत प्रतिरक्षा को स्टरलाइज़ करने की आवश्यकता नहीं है, जिसे हमने एएसआई गढ़ा है; कृत्रिम स्टरलाइज़िंग प्रतिरक्षा। हम गणितीय रूप से दिखाते हैं कि, एएसआई के लिए, हमें संवेदनशीलता में केवल मध्यम बदलाव की आवश्यकता है। इसके अलावा, हम संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करते हैं कि अन्य प्रकार की जनसंख्या विविधताएं, जैसे कि परिवर्तनशील सामाजिक मिश्रण पैटर्न, खुद को एएसआई के रूप में भी प्रकट करती हैं।

सिस्टैंच पौधा-बढ़ाने वाली प्रतिरक्षा प्रणाली

इस पेपर के निष्कर्ष खुद को SARS-CoV -2 तक सीमित नहीं रखते हैं, बल्कि मूल रूप से दिखाते हैं कि झुंड प्रतिरक्षा सीमा के लिए शास्त्रीय सूत्र और केर्मैक और मैकेंड्रिक के प्रसिद्ध पेपर में जड़ों के साथ संक्रामक रोगों के प्रसार के मॉडल हैं [1 ] संवेदनशीलता में बड़ी परिवर्तनशीलता के अधीन किसी भी संक्रामक रोग का मॉडल बनाने में असमर्थ हैं, और इसे धारा 3.1 में वर्णित अनुसार संशोधित करने की आवश्यकता है। कुशल रोग नियंत्रण प्रबंधन और योजना के लिए झुंड-प्रतिरक्षा सीमा एचआईटी का अनुमान महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, यदि कोई समाज एचआईटी तक पहुंचने से पहले लॉकडाउन करने का निर्णय लेता है, तो यह लगभग निश्चित है कि बीमारी फिर से उभरेगी जब तक कि एनपीआई को अनिश्चित काल तक बनाए नहीं रखा जाता। शास्त्रीय सूत्र (1) अभी भी बहुत अधिक उपयोग में है, इस तथ्य के बावजूद कि यह कई अतिसरलीकृत धारणाओं पर भरोसा करने के लिए जाना जाता है जो गलत संकेत का कारण बन सकता है। हमने एक नया फॉर्मूला स्थापित किया है जिसे हम साबित करते हैं कि परिवर्तनशील संवेदनशीलता मौजूद होने पर यह लागू होता है। चूँकि हम दिखाते हैं कि हमारा सरलीकृत मॉडल, एएसआई के साथ एसआईआर भी उन मॉडलों के लिए एक अच्छा विकल्प प्रतीत होता है जिनमें परिवर्तनशील सामाजिक मिश्रण पैटर्न शामिल हैं, यह संभव है कि (2) जो हम गणितीय रूप से साबित करने में सक्षम हैं उससे अधिक आम तौर पर लागू होता है।

संदर्भ

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